Doumo Arigatou, Arigatou Gozaimashita, Arigatou Gozaimasu
A frase "Doumo arigatou gozaimashita" é muito fácil de explicar.
Enquanto basicamente, "Doumo arigatou" significa apenas: "Muito obrigado", quando acrescentamos o "gozaimashita", passamos a reforçar a frase e o agradecimento, passando neste caso a significar: "Muitíssimo obrigado".
Neste caso, eu colocaria as definições abaixo como:
Doumo = Obrigado
Arigatou = Graças (Sim, novamente. Reforçando a palavra anterior)
Gozaimashita = Por algo que aconteceu
É pronunciada, mais ou menos, dou mo ari ga tou go zai ma shi ta.
Se você estiver falando com alguém que é seu igual ou "inferior" na hierarquia, você pode simplesmente dizer "Arigatou" ou "Doumo" (embora dessa forma, passa a ser uma maneira resumida do agradecimento e pode ser tomado como sendo um pouco rude) para dizer, basicamente, "graças ou obrigado".
Para as pessoas "acima de" você na hierarquia (por exemplo, sensei, sempai), você normalmente diz a frase completa. Se você vai jogar alguma coisa fora da frase em si, o mais provável seria cair a parte "Doumo" da frase e apenas dizer "arigatou gozaimashita" a alguém.
Ao lado de onegaishimasu, arigatou gozaimashita é umas das expressões mais ouvidas durante um treino em que se utilizam termos japoneses. Falamos ao final do treino, quando acabamos de praticar com alguém ou quando o sensei termina uma demonstração.
A expressão é composta da palavra arigatou que, segundo o Kendo Guide, estava relacionado com a forma antiga (diferente no japonês moderno) de arigatai, cujo significado é "raro" e que derivou para "precioso", "excelente". Atualmente, é utilizada simplesmente como "obrigado", mas o sentido inicial é "eu agradeço a você porque isso não me acontece o tempo todo", "isso é raro, então agradeço a você".
A segunda parte, gozaimashita, é uma palavra que torna a expressão mais polida e que é o passado de gozaimasu. Arigato gozaimashita é utilizada então para se agradecer a eventos que acabaram de acontecer, como o final do treino com alguém. Se alguém diz que VAI fazer algo por você, por exemplo, lhe trazer algo, então é melhor dizer arigatou gozaimasu (que se pronuncia como onegaishiMASU). Na dúvida, é possível usar sempre a forma no presente.
A versão japonesa, em uma forma educada de expressar gratidão, na verdade elogia o ato em si: "Que é / foi / seria uma coisa rara", então é por isso que às vezes o passado é apropriado e outras vezes o presente (que é também o futuro) se encaixa melhor. Ou seja, se algo que já foi feito para você pode ser usado, “Arigatou gozaimashita" (utilizado mais para um ato passado); para qualquer coisa que vai ser feito ou algo que tem sido feito pode ser usado “Arigato gozaimasu” (utilizado mais para um ato presente).
Parece haver um consenso sobre a utilização da expressão onegaishimasu mas não para o agradecimento. É tanto comum ouvir um simples "Doumo Arigatou" quanto à forma ultra-polida doumo arigatou gozaimashita, quando o agradecimento é dirigido ao sensei ou no cumprimento final da aula.